रेखाओं frac{x}{1} = frac{y}{-1} = frac{z}{1} | vedclass

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Question

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ और $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ हैं। $L_1$ प

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$\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$

Vedclass · Answer

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ और $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ हैं। $L_1$ पर कोई बिंदु $P(r_1, -r_1, r_1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(1, -2r_2 - 1, r_2)$ है। रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(1 - r_1, -2r_2 - 1 + r_1, r_2 - r_1)$ हैं। चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,यह $L_1$ (दिशा $\vec{v_1} = \langle 1, -1, 1 \rangle$) और $L_2$ (दिशा $\vec{v_2} = \langle 0, -2, 1 \rangle$) दोनों के लंबवत है। $1$) $(1 - r_1)(1) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-1) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 3r_2 + 2 = 0$. $2$) $(1 - r_1)(0) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-2) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 5r_2 + 2 = 0$. समीकरणों को घटाने पर: $2r_2 = 0 \Rightarrow r_2 = 0$. अतः $-3r_1 + 2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2/3$. बिंदु $P(2/3, -2/3, 2/3)$ और $Q(1, -1, 0)$ हैं। $PQ$ के दिक अनुपात $(1/3, -1/3, -2/3)$ हैं,जो $(1, -1, -2)$ के समानुपाती हैं। रेखा $Q(1, -1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$ है।

रेखाओं $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1}$ और $\frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा का समीकरण है

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